카프리카 수(KAPREKAR NUMBER)

카프리카 수(KAPREKAR NUMBER)

수학에서 "카프리카 수(KAPREKAR NUMBER)"라고 불리는 숫자가 있습니다. 이는 인도의 수학자인 "카프리카에 의해서 정의된 숫자이지요.

카프리카가 카프리카 상수를 발견하게 된 계기는 다소 우연적인 이야기가 곁들여져 있습니다. 어느 마을 기찻길에 3025KM이라고 쓰인 표지판이 있었다고 하는데요. 어느 날 이 표지판이 넘어지면서 둘로 쪼개졌는데 정확히 30과 25 사이를 갈랐다고 합니다. 그리고 그곳을 지나던 카프리카는 이것을 보았고 "30 + 25 = 55"이고, "55의 제곱 = 3025"라는 것을 발견하게 되었습니다.

그래서 그는 카프리카 수를 아래와 같이 정의하게 되지요. "어떤 수의 제곱수를 두 부분으로 나누어 더했을 때, 다시 원래의 수가 되는 수"를 가리키는 것이지요.

"인도의 수학자 카프리카가 정의한, 카프리카 수"

그가 정의한 카프리카 수의 예시를 살펴보면 아래와 같은 숫자들을 볼 수 있습니다. 간단하게는 45를 카프리카 숫자로 볼 수 있는데요. 45의 제곱은 "2025"가 됩니다. 그리고, 이 결괏값의 숫자를 두 부분으로 나눈 "20+25"는 "45"가 되지요. 그래서 45는 카프리카 숫자가 된답니다.

다른 카프리카 숫자로는 "297"을 찾아볼 수 있기도 합니다. 297의 제곱은 "88209"인데요. 이것을 "88"과 "209"로 나누어서 볼 수 있습니다. 그리고 "88+209"는 역시 "297"이 되지요. 그래서 이 숫자 역시도 카프리카 숫자가 된답니다.

"나누어지는 두 숫자는 0으로 시작해도 되지만, 양수여야 한다."

그리고 보다 더 큰 숫자에서도 찾아볼 수 있습니다. 나누어지는 두 숫자는 0으로 시작할 수 있기도 하지만, 양수여야 합니다. "999"는 카프리카 숫자라고 할 수 있는데요. "999"의 제곱은 "998001"이 됩니다. 그리고 두 숫자를 "998"과 "001"로 나누면 "998+001"이 되지요. 두 숫자를 더한 값은 "999"가 되기 때문에 카프리카 수라고 할 수 있답니다.

하지만, 100의 경우에는 카프리카 숫자가 되지 않는답니다. 그 이유는 "100"의 제곱은 "10000"인데, 숫자를 두 부분으로 나누어서 더해보면, "100 + 00"이 되어서 합계 "100"이 되지만, "00"은 양수가 아니기 때문이지요.

"다양한 카프리카 숫자들"

아래에서는 다양한 카프리카 숫자들을 볼 수 있답니다. 아래에서 나열된 숫자는 모두 카프리카 숫자이지요.

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170,... (OEIS의 수열 A006886)

그리고 9, 99, 999... 와 같이 "10^n - 1"와 같은 숫자들은 모두 카프리카 숫자입니다.

"카프리카 수를 찾아내는 공식"

이러한 카프리카 숫자를 찾아내는 공식을 정리해보면 아래와 같이 살펴볼 수 있습니다.

d 자리의 양의 정수 n에 대하여, 두 정수 0 < a, b <10^d 가 존재하며 n이 아래의 두 조건을 만족하면 카프리카의 수이다.

n^2=a⋅10^d+b, n=a+b. (^은 제곱)

여기까지, 수학의 "카프리카 수"에 대해서 한 번 살펴보았습니다.